Question

2．已知函數(shù)f（x）=ax-（a+1）lnx，a∈R．
（I）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的圖象在（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)a∈（0，1），x∈[1，e]時(shí)，比較f（x）與$\frac{1}{x}$+1的大小關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（1），f′（1），代入切線方程即可；
（Ⅱ）令g（x）=ax-（a+1）lnx-$\frac{1}{x}$-1，求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)a，x的范圍，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出g（x）的最大值，從而比較大小即可．

解答 解：（Ⅰ）a=1時(shí)，f（x）=x-2lnx，
f′（x）=1-$\frac{2}{x}$，∴f′（1）=-1，
而f（1）=1，
故切線方程是：y-1=-（x-1），
即x+y-2=0；
（Ⅱ）令g（x）=ax-（a+1）lnx-$\frac{1}{x}$-1，
g′（x）=$\frac{{ax}^{2}-（a-1）x+1}{{x}^{2}}$，
∵a∈（0，1），x∈[1，e]，
∴ax²＞0，a-1＜0，（a-1）x＜0，
∴ax²-（a-1）x+1＞0，
∴g′（x）＞0，
g（x）在[1，e]遞增，
∴g（x）_max=g（e）=a（e-1）-2-$\frac{1}{e}$＜e-3-$\frac{1}{e}$＜0，
∴a∈（0，1），x∈[1，e]時(shí)，f（x）＜$\frac{1}{x}$+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了曲線的切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．