15．已知函數(shù)f（x）=xlnx+ax2-1，且f'（1）=-1．
（1）求a的值；
（2）若對于任意x∈（0，+∞），都有f（x）-mx≤-1，求m的最小值．

分析 （1）求出導數(shù)，利用f'（1）=-1，求解即可．
（2）設g（x）=lnx-x，則$g'（x）=\frac{1}{x}-1$，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出最值即可得到結果．

解答 解：（1）對f（x）求導，得f'（x）=1+lnx+2ax，
所以f'（1）=1+2a=-1，解得a=-1．
（2）由f（x）-mx≤-1，得xlnx-x2-mx≤0，
因為x∈（0，+∞），所以對于任意x∈（0，+∞），都有l(wèi)nx-x≤m．
設g（x）=lnx-x，則$g'（x）=\frac{1}{x}-1$，
令g'（x）=0，解得x=1，
當x變化時，g（x）與g'（x）的變化情況如下表：

x（0，1）1（1，+∞）
g'（x）+0-
g（x）增極大值減
所以當x=1時，g（x）max=g（1）=-1，
因為對于任意x∈（0，+∞），都有g（x）≤m成立，所以m≥-1，
所以m的最小值為-1．

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

5．已知cosα，sinα是函數(shù)f（x）=x2-tx+t（t∈R）的兩個零點，則sin2α=（　　）
A．2-2$\sqrt{2}$B．2$\sqrt{2}$-2C．$\sqrt{2}$-1D．1-$\sqrt{2}$

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

6．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^x}，x≤3\\{log_2}x，x＞3\end{array}\right.$，則f（f（3））=3．

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3．已知函數(shù)f（x）的定義域為D，若存在區(qū)間[m，n]⊆D使得f（x）：
（Ⅰ）f（x）在[m，n]上是單調(diào)函數(shù)；
（Ⅱ）f（x）在[m，n]上的值域是[2m，2n]，
則稱區(qū)間[m，n]為函數(shù)f（x）的“倍值區(qū)間”．
下列函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的有①②④（填上所有你認為正確的序號）
①f（x）=x2； ②$f（x）=\frac{1}{x}$；③$f（x）=x+\frac{1}{x}$；   ④$f（x）=\frac{3x}{{{x^2}+1}}$．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

10．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增，若實數(shù)b滿足$2f（{log_2}b）+f（{log_{\frac{1}{2}}}b）≤3f（1）$，則實數(shù)b的取值范圍是$[{\frac{1}{2}，2}]$．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

20．設集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4}，則A∩B={3}．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

7．設等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和為Sn，則“|q|=1”是“S6=3S2”的（　　）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

4．函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}ln|x|}{|x|}$的圖象大致是（　�。�
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

5．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中點，EF⊥PB交PB于點F．
（Ⅰ）求點C到平面BDE的距離；
（Ⅱ）證明：PB⊥平面DEF．

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