Question

8．若$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$為不共線的向量，則P，A，B三點(diǎn)共線的充要條件為$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$且λ+μ=1．

Answer 1

分析 先求出$\overrightarrow{PA}$=（1-λ）$\overrightarrow{OA}$-$μ\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{PB}$=（1-μ）$\overrightarrow{OB}-λ\overrightarrow{OA}$，再由三點(diǎn)P、A、B三點(diǎn)共線，得到$\overrightarrow{PA}=n\overrightarrow{PB}$，由此能求出結(jié)果．

解答 解：$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}-λ\overrightarrow{OA}-μ\overrightarrow{OB}$
=（1-λ）$\overrightarrow{OA}$-$μ\overrightarrow{OB}$，
$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OB}-λ\overrightarrow{OA}-μ\overrightarrow{OB}$
=（1-μ）$\overrightarrow{OB}-λ\overrightarrow{OA}$，
∵三點(diǎn)P、A、B三點(diǎn)共線，∴$\overrightarrow{PA}=n\overrightarrow{PB}$，
∴（1-λ）$\overrightarrow{OA}$-$μ\overrightarrow{OB}$=n[（1-μ）$\overrightarrow{OB}-λ\overrightarrow{OA}$]，
∴$\frac{-μ}{1-μ}=\frac{1-λ}{-λ}$，
∴λ+μ=1．
故答案為：λ+μ=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面上三點(diǎn)共線的充要條件的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意平面向量的運(yùn)算法則和性質(zhì)的靈活運(yùn)用．