Question

2．已知a₁=1，a_n+1=（$\frac{1+a}{2}$+$\frac{a}{2{n}^{2}+2n}$）a_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$．
（1）當a=0時，求{a_n}的通項公式；
（2）當a=1時，證明a_n$＜{e}^{\frac{3}{2}}$．

Answer 1

分析 （1）通過將a=0及a₁=1代入遞推式可得a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$，變形可得2ⁿ⁺¹a_n+1=2ⁿa_n+2，進而可得結(jié)論；
（2）通過a=1易得a_n+1＞a_n＞1，放縮可得a_n+1＜（1+$\frac{1}{{2n}^{2}+2n}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$）a_n，兩邊取自然對數(shù)并利用ln（1+x）＜x，整理可得lna_n+1-lna_n＜$\frac{1}{{2n}^{2}+2n}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$，累加即可．

解答 （1）解：當a=0時，a₁=1，a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴2ⁿ⁺¹a_n+1=2ⁿa_n+2，
∴數(shù)列{2ⁿa_n}是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，
∴2ⁿa_n=2+2（n-1）=2n，
∴a_n=$\frac{2n}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$；
（2）證明：當a=1時，顯然a_n+1＞a_n＞1，
∴a_n+1=（1+$\frac{1}{{2n}^{2}+2n}$）a_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$＜（1+$\frac{1}{{2n}^{2}+2n}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$）a_n，
兩邊取自然對數(shù)，得：lna_n+1＜ln（1+$\frac{1}{{2n}^{2}+2n}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$）+lna_n，
又∵ln（1+x）＜x，
∴l(xiāng)na_n+1＜ln（1+$\frac{1}{{2n}^{2}+2n}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$）+lna_n＜$\frac{1}{{2n}^{2}+2n}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$+lna_n，
∴l(xiāng)na_n+1-lna_n＜$\frac{1}{{2n}^{2}+2n}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$，
累加得：$\sum_{i=1}^{n-1}$（lna_i+1-lna_i）＜$\sum_{i=1}^{n-1}$（$\frac{1}{2{i}^{2}+2i}$+$\frac{1}{{2}^{i}}$）
=$\sum_{i=1}^{n-1}$[$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{i}$-$\frac{1}{i+1}$）+$\frac{1}{{2}^{i}}$]
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{n}$）+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$
=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2n}$-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$＜$\frac{3}{2}$，
即lna_n-lna₁＜$\frac{3}{2}$，
又∵lna₁=0，
∴l(xiāng)na_n＜$\frac{3}{2}$，∴a_n$＜{e}^{\frac{3}{2}}$．

點評 本題是一道數(shù)列與不等式的綜合題，考查求數(shù)列通項及其取值范圍，考查對數(shù)的運算法則，注意解題方法的積累，屬于中檔題．