Question

【題目】給定橢圓：，稱(chēng)圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓的“準(zhǔn)圓”.若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為.

（1）求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；

（2）設(shè)橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)為，長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)為，點(diǎn) 是“準(zhǔn)圓”上一動(dòng)點(diǎn)，求三角形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）， .（2）

【解析】

（1）根據(jù)焦點(diǎn)為，短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為,得到,可得,進(jìn)而可得其“準(zhǔn)圓”方程；

（2）寫(xiě)出直線(xiàn)方程，由題知要使得三角形面積最大，則過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與直線(xiàn)平行且于圓相切，求出過(guò)并且與圓相切的直線(xiàn)，選取離直線(xiàn)更遠(yuǎn)的那條直線(xiàn)，求出兩直線(xiàn)的距離，利用面積公式可得三角形面積的最大值．

解：（1）由題可知，

橢圓方程為，

準(zhǔn)圓方程為.

（2）設(shè)橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)為，長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)為，

那么直線(xiàn)方程為，即

要使得三角形面積最大，則過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與直線(xiàn)平行且與圓相切.

設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)：，

因?yàn)橹本�(xiàn)與圓相切，所以.

所以，

當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)距離直線(xiàn)更遠(yuǎn)，此時(shí)三角形面積最大，

即直線(xiàn)：

此時(shí)直線(xiàn)與直線(xiàn)的距離為

所以三角形面積最大值