Question

20．已知函數(shù)D（x）=$\left\{\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right.\begin{array}{l}{\;}&{x為有理數(shù)}\\{\;}&{x為無(wú)理數(shù)}\end{array}$，則（　�。�

• A． D（D（x））=1，0是D（x）的一個(gè)周期
• B． D（D（x））=1，1是D（x）的一個(gè)周期
• C． D（D（x））=0，1是D（x）的一個(gè)周期
• D． D（D（x））=0，D（x）的最小正周期不存在

Answer 1

分析 根據(jù)定義，結(jié)合函數(shù)值之間的關(guān)系以及函數(shù)周期性的定義進(jìn)行判斷即可．

解答 解：若x為有理數(shù)，D（D（x））=D（1）=1，
若x為無(wú)理數(shù)，D（D（x））=D（0）=1，
綜上D（D（x））=1，排除C，D．
根據(jù)函數(shù)的周期性的定義，周期不可能是0，故A錯(cuò)誤，
若x為有理數(shù)，D（x+1））=1，D（x）=1，則D（x+1）=D（x），
若x為無(wú)理數(shù)，D（x+1））=0，D（x）=0，則D（x+1）=D（x），
綜上D（x+1）=D（x），
即1是函數(shù)D（x）的一個(gè)周期，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，涉及函數(shù)值的計(jì)算以及函數(shù)周期的求解，根據(jù)條件和定義是解決本題的關(guān)鍵．