Question

5．已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+b_n=1，b_n+1=$\frac{_{n}}{1-{{a}_{n}}^{2}}$，n∈N^*，則a_n=$\frac{1}{n+1}$，b₂₀₁₆=$\frac{2016}{2017}$．

Answer 1

分析 a_n+b_n=1，b_n+1=$\frac{_{n}}{1-{{a}_{n}}^{2}}$，n∈N^*，可得b₁=1-a₁=$\frac{1}{2}$．又b_n+1=$\frac{_{n}}{1-（1-_{n}）^{2}}$=$\frac{1}{2-_{n}}$，可得b₂，b₃，…，猜想：b_n=$\frac{n}{n+1}$，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．
進(jìn)而得出a_n=1-b_n．

解答 解：∵a_n+b_n=1，b_n+1=$\frac{_{n}}{1-{{a}_{n}}^{2}}$，n∈N^*，
∴b₁=1-a₁=$\frac{1}{2}$．
b_n+1=$\frac{_{n}}{1-（1-_{n}）^{2}}$=$\frac{1}{2-_{n}}$，
∴b₂=$\frac{2}{3}$，b₃=$\frac{3}{4}$，…，猜想：b_n=$\frac{n}{n+1}$，
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，b₁=$\frac{1}{2}$成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k≥1（k∈N^*）時(shí)成立，即b_k=$\frac{k}{k+1}$．
∴b_k+1=$\frac{1}{2-_{k}}$=$\frac{k+1}{k+1+1}$，
因此n=k+1時(shí)成立．
綜上可得：?n∈N^*，b_n=$\frac{n}{n+1}$，
∴b₂₀₁₆=$\frac{2016}{2017}$．
經(jīng)過驗(yàn)證可知：b_n=$\frac{n}{n+1}$成立．
∴a_n=1-b_n=$1-\frac{n}{n+1}$=$\frac{1}{n+1}$．
故答案分別為：$\frac{1}{n+1}$；$\frac{2016}{2017}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、數(shù)學(xué)歸納法，考查了猜想能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．