Question

14．在△ABC中，已知CM是∠ACB的平分線(xiàn)，△AMC的外接圓交BC于點(diǎn)N．若2AB=AC，AM=$\sqrt{2}$，求BN的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 由角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得$\frac{AC}{BC}=\frac{AM}{BM}$，再由條件推出$\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2}•\frac{AM}{BM}$．由割線(xiàn)長(zhǎng)定理知BM•BA=BN•BC，即$\frac{BA}{BC}=\frac{BN}{BM}$，從而可得結(jié)論．

解答 解：因?yàn)镃M是∠ACB的平分線(xiàn)，所以$\frac{AC}{BC}=\frac{AM}{BM}$，
又已知2AB=AC，所以$\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2}•\frac{AM}{BM}$．
設(shè)△AMC的外接圓為圓D，則MA與NC是圓D過(guò)同一點(diǎn)B的兩條弦，
所以，由割線(xiàn)長(zhǎng)定理知BM•BA=BN•BC，即$\frac{BA}{BC}=\frac{BN}{BM}$，所以BN=$\frac{1}{2}$AM，
因?yàn)锳M=$\sqrt{2}$，所以BN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查角平分線(xiàn)的性質(zhì)，圓的切割線(xiàn)定理的應(yīng)用，屬于中檔題．