8.已知函數(shù)f(x)=lnx-a(x-1)2-(x-1)(其中常數(shù)a∈R).
(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f(x)<0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過(guò)討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)通過(guò)討論a的范圍,確定出滿足條件的a的范圍即可.

解答 解:(Ⅰ)f(x)=lnx-a(x-1)2-(x-1),(x>0),
f′(x)=-$\frac{(2ax+1)(x-1)}{x}$,
①a<-$\frac{1}{2}$時(shí),0<-$\frac{1}{2a}$<1,
令f′(x)<0,解得:x>1或0<x<-$\frac{1}{2a}$,令f′(x)>0,解得:-$\frac{1}{2a}$<x<1,
∴f(x)在$(0,-\frac{1}{2a}),(1,+∞)$遞減,在$(-\frac{1}{2a},1)$遞增;
②-$\frac{1}{2}$<a<0時(shí),令f′(x)<0,解得:x>-$\frac{1}{2a}$或0<x<1,令f′(x)>0,解得:1<x<-$\frac{1}{2a}$,
∴f(x)在$(0,1),(-\frac{1}{2a},+∞)$遞減,在$(1,-\frac{1}{2a})$遞增;
③$a=-\frac{1}{2}$,f′(x)=-$\frac{{(x-1)}^{2}}{x}$≤0,f(x)在(0,1),(1+∞)遞減;
④a≥0時(shí),2ax+1>0,令f′(x)>0,解得:0<x<1,令f′(x)<0,解得:x>1,
∴f(x)在(0,1)遞增,在(1,+∞)遞減;
(Ⅱ)函數(shù)恒過(guò)(1,0),由(Ⅰ)得:a≥-$\frac{1}{2}$時(shí),符合題意,
a<-$\frac{1}{2}$時(shí),
f(x)在(0,-$\frac{1}{2a}$)遞減,在$(-\frac{1}{2a},1)$遞增,不合題意,
故a≥-$\frac{1}{2}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想,是一道中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求f(x)的最小正周期;
(2)用五點(diǎn)作圖法做出f(x)在區(qū)間[0,π]上的草圖;
(3)寫出f(x)在區(qū)間[0,$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值.

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2.古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來(lái)研究數(shù),例如:

由于這些數(shù)能夠表示成三角形將其稱為三角形數(shù),記第n個(gè)三角形數(shù)為an(如a4=10),令S=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2016}}$,則S=(  )
A.$\frac{2016}{2017}$B.$\frac{4032}{2017}$C.$\frac{2015}{2016}$D.$\frac{4030}{2016}$

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19.已知函數(shù)f(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),則坐標(biāo)原點(diǎn)O與圓(x-$\sqrt{a}$)2+(y+$\sqrt$)2=2的位置關(guān)系是( 。
A.點(diǎn)O在圓外B.點(diǎn)O在圓上C.點(diǎn)O在圓內(nèi)D.不能確定

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3.古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過(guò)各種多邊形數(shù).如三角形數(shù)1,3,6,10,第n個(gè)三角形數(shù)為$\frac{{n({n+1})}}{2}=\frac{1}{2}{n^2}+\frac{1}{2}$n.記第n個(gè)k邊形數(shù)為N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式:
三角形數(shù)     N(n,3)=$\frac{1}{2}{n^2}+\frac{1}{2}$n
正方形數(shù)      N(n,4)=n2
五邊形數(shù)      N(n,5)=$\frac{3}{2}{n^2}-\frac{1}{2}$n
六邊形數(shù)      N(n,6)=2n2-n
可以推測(cè)N(n,k)的表達(dá)式,由此計(jì)算N(10,24)=1000.

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13.如圖,在四棱錐A-BCDE中,側(cè)面ABC為正三角形,DC=BC=2BE,BE∥CD,DC⊥BC,且側(cè)面ABC⊥底面BCDE,P為AD的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:PE∥平面ABC;
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(Ⅲ)求二面角P-CE-B的正弦值.

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20.如圖,矩形BDEF垂直于正方形ABCD,GC垂直于平面ABCD,且AB=DE,CG=$\frac{1}{2}$DE.
(1)證明:面GEF⊥面AEF;
(2)求二面角B-EG-C的余弦值.

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17.將三項(xiàng)式(x2+x+1)n展開(kāi),當(dāng)n=0,1,2,3,…時(shí),得到以下等式:
(x2+x+1)0=1
(x2+x+1)1=x2+x+1(x2+x+1)2=x4+2x3+3x2+2x+1
(x2+x+1)3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1

觀察多項(xiàng)式系數(shù)之間的關(guān)系,可以仿照楊輝三角構(gòu)造如圖所示的廣義楊輝三角形,其構(gòu)造方法為:第0行為1,以下各行每個(gè)數(shù)是它頭上與左右兩肩上3數(shù)(不足3數(shù)的,缺少的數(shù)計(jì)為0)之和,第k行共有2k+1個(gè)數(shù).若在(1+ax)(x2+x+1)5的展開(kāi)式中,x7項(xiàng)的系數(shù)為75,則實(shí)數(shù)a的值為1.

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18.一艘海輪從A出發(fā),沿北偏東75°的方向航行(2$\sqrt{3}$-2)nmile到達(dá)海島B,然后從B出發(fā),沿北偏東15°的方向航行4nmile到達(dá)海島C.
(1)求AC的長(zhǎng);
(2)如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C,求∠CAB的大?

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