Question

3．古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)．如三角形數(shù)1，3，6，10，第n個(gè)三角形數(shù)為$\frac{{n（{n+1}）}}{2}=\frac{1}{2}{n^2}+\frac{1}{2}$n．記第n個(gè)k邊形數(shù)為N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式：
三角形數(shù)     N（n，3）=$\frac{1}{2}{n^2}+\frac{1}{2}$n
正方形數(shù)      N（n，4）=n²
五邊形數(shù)      N（n，5）=$\frac{3}{2}{n^2}-\frac{1}{2}$n
六邊形數(shù)      N（n，6）=2n²-n
可以推測(cè)N（n，k）的表達(dá)式，由此計(jì)算N（10，24）=1000．

Answer 1

分析 觀察已知式子的規(guī)律，并改寫形式，歸納可得N（n，k）=$\frac{k-2}{2}$n²+$\frac{4-k}{2}$，把n=10，k=24代入可得答案

解答 解：原已知式子可化為：
N（n，3）=$\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{1}{2}n=\frac{3-2}{2}{n}^{2}+\frac{4-3}{2}n$，
N（n，4）=n²=$\frac{4-2}{2}{n}^{2}+\frac{4-4}{2}n$，
N（n，5）=$\frac{3}{2}{n}^{2}-\frac{1}{2}n$=$\frac{5-2}{2}{n}^{2}+\frac{4-5}{2}n$，
N（n，6）=2n²-n=$\frac{6-2}{2}{n}^{2}+\frac{4-6}{2}n$，
由歸納推理可得：
N（n，k）=$\frac{k-2}{2}$n²+$\frac{4-k}{2}$，
故N（10，24）=$\frac{24-2}{2}×1{0}^{2}+\frac{4-24}{2}×10$=1100-100=1000．
故答案為：1000．

點(diǎn)評(píng) 本題考查歸納推理，觀察已知式子的規(guī)律并改寫形式是解決問題的關(guān)鍵，是中檔題．