Question

18．一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75°的方向航行（2$\sqrt{3}$-2）nmile到達(dá)海島B，然后從B出發(fā)，沿北偏東15°的方向航行4nmile到達(dá)海島C．
（1）求AC的長(zhǎng)；
（2）如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C，求∠CAB的大小？

Answer 1

分析 由題意，結(jié)合圖形知，在△ABC中，∠ABC=120°，AB=2$\sqrt{3}$-2，BC=4，故可由余弦定理求出邊AC的長(zhǎng)度，由于此時(shí)在△ABC中，∠ABC=120°，三邊長(zhǎng)度已知，故可由正弦定理建立方程，求出∠CAB的正弦值，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，在△ABC中，∠ABC=180°-75°+15°=120°，AB=2$\sqrt{3}$-2，BC=4，
根據(jù)余弦定理得
AC²=AB²+BC²-2AB×BC×cos∠ABC=（2$\sqrt{3}$-2）²+4²+（2$\sqrt{3}$-2）×4=24，
所以AC=2$\sqrt{6}$．
根據(jù)正弦定理得，sin∠BAC=$\frac{4×\frac{\sqrt{3}}{2}}{2\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴∠CAB=45°．

點(diǎn)評(píng) 本題是解三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用，考查了正弦定理、余弦定理，方位角等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是將實(shí)際問題中的距離、角等條件轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，正弦定理與余弦定理求角與邊，解三角形在實(shí)際測(cè)量問題-遙測(cè)中有著較為廣泛的應(yīng)用，此類問題求解的重點(diǎn)是將已知的條件轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中方便利用解三角形的相關(guān)公式與定理，本題考查了轉(zhuǎn)化的思想，方程的思想．