Question

2．古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)，例如：

由于這些數(shù)能夠表示成三角形將其稱為三角形數(shù)，記第n個三角形數(shù)為a_n（如a₄=10），令S=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2016}}$，則S=（　　）

• A． $\frac{2016}{2017}$
• B． $\frac{4032}{2017}$
• C． $\frac{2015}{2016}$
• D． $\frac{4030}{2016}$

Answer 1

分析 根據(jù)已知中第1個圖中黑點有1個，第2個圖中黑點有1+2個，第3個圖中黑點有1+2+3個，第4個圖中黑點有1+2+3+4個，…歸納可得第n個圖中黑點有1+2+3+…+n個，進而利用裂項法求和得到答案．

解答 解：由已知中：
第1個圖中黑點有1個，
第2個圖中黑點有3=1+2個，
第3個圖中黑點有6=1+2+3個，
第4個圖中黑點有10=1+2+3+4個，
…
故第n個圖中黑點有a_n=1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$個，
∴S=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2016}}$=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$）=$\frac{4032}{2017}$
故選：B．

點評 歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．