Question

5．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，sinAsinBcosC=sin²C．
（Ⅰ）求$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{c^2}$的值；
（Ⅱ）若${a^2}=\frac{2}{3}{c^2}$，且△ABC的面積${S_{△ABC}}=2\sqrt{5}$，求c的值．

Answer 1

分析 （I）由已知及正弦定理可得$cosC=\frac{c^2}{ab}$，結(jié)合余弦定理即可解得$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{c^2}$的值．
（II）由${a^2}=\frac{2}{3}{c^2}$，a²+b²=3c²得${b^2}=\frac{7}{3}{c^2}$，由余弦定理可求cosC，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinC，利用三角形面積公式即可計(jì)算得解．

解答 （本小題滿分15分）
解：（ I）由已知sinA•sinB•cosC=sin²C得到$cosC=\frac{c^2}{ab}$． （2分）
又$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}$．（4分）
故$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{c^2}$的值為3…（6分）
（ II）由${a^2}=\frac{2}{3}{c^2}$，a²+b²=3c²得${b^2}=\frac{7}{3}{c^2}$． （8分）
由余弦定理得$cosC=\frac{{3\sqrt{14}}}{14}$．   （10分）
故$sinC=\frac{{\sqrt{70}}}{14}$．    （12分）
故$S=\frac{1}{2}•\sqrt{\frac{2}{3}}c•\sqrt{\frac{7}{3}}c•sinC=2\sqrt{5}$，得$c=2\sqrt{3}$．（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．