Question

20．已知函數(shù)f（x）=（x+1）ln（x+1），若函數(shù)h（x）=2f（x-1）與y=x³-mx的圖象在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上有2個(gè)不同的交點(diǎn)．則m的取值范圍是（　�。�

• A． [1，2]
• B． （1，2+$\frac{1}{{e}^{2}}$]
• C． （1+$\frac{1}{e}$，3）
• D． （2，4+e]

Answer 1

分析 求出h（x），由2xlnx=x³-mx（x∈[$\frac{1}{e}$，e]），可得m=x²-2lnx，函數(shù)h（x）=2f（x-1）與y=x³-mx的圖象在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上有2個(gè)不同的交點(diǎn)，m=x²-2lnx在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上有2個(gè)不同的零點(diǎn)，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，h（x）=2f（x-1）=2xlnx．
由2xlnx=x³-mx（x∈[$\frac{1}{e}$，e]），可得m=x²-2lnx，
函數(shù)h（x）=2f（x-1）與y=x³-mx的圖象在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上有2個(gè)不同的交點(diǎn)，m=x²-2lnx在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上有2個(gè)不同的零點(diǎn)．
令g（x）=x²-2lnx，則g′（x）=2x-$\frac{2}{x}$
令g'（x）=0，得x=±1
在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，1]上，h（x）是減函數(shù)；[1，e]上，h（x）是增函數(shù)
∵g（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{{e}^{2}}$+2，g（1）=1，g（e）=e²-2，
∴1＜m≤$\frac{1}{{e}^{2}}$+2．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化問題的能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．