Question

15．已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個紅球、1個綠球和2個黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的2個紅球、1個綠球和3個黑球，現(xiàn)從甲乙兩個盒子內(nèi)各任取2球．
（1）求取出的4個球中恰有1個紅球的概率；
（2）求取出的4個球中紅球個數(shù)不超過2個的概率；
（3）設(shè)取出的4個球中紅球的個數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 設(shè)4個球中紅球個數(shù)為ξ，即ξ=1，可能來自甲盒，也可能來自乙盒，由此能求出取出的4個球中恰有1個紅球的概率．
（Ⅱ）4個球中的紅球個數(shù)ξ不超過2個，則ξ可以是0個，1個，2個，分別求出Pp（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），由此能求出P（ξ≤2）．
（Ⅲ）ξ的可能取值為0，1，2，3，…9′
由（Ⅰ）分別求出：p（ξ=0），p（ξ=1），p（ξ=2），p（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和數(shù)學期望．

解答 解：（Ⅰ） 設(shè)4個球中紅球個數(shù)為ξ，即ξ=1，可能來自甲盒，也可能來自乙盒
∴p（ξ=1）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{4}^{2}}•\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$+$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{4}^{2}}•\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{7}{15}$．…4′
（Ⅱ）4個球中的紅球個數(shù)ξ不超過2個，則ξ可以是0個，1個，2個
p（ξ=0）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{4}^{2}}$•$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{5}$，
p（ξ=1）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{4}^{2}}•\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$+$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{4}^{2}}•\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{7}{15}$，
p（ξ=2）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{4}^{2}}$•$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$+$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{4}^{2}}•\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{3}{10}$，
∴p（ξ≤2）=$\frac{1}{5}+\frac{7}{15}+\frac{3}{10}=\frac{29}{30}$．…8′
（Ⅲ）ξ的可能取值為0，1，2，3，…9′
由（Ⅰ）（Ⅱ）知：p（ξ=0）=$\frac{1}{5}$，p（ξ=1）=$\frac{7}{15}$，p（ξ=2）=$\frac{3}{10}$，
而p（ξ=3）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{4}^{2}}•\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{30}$，…10′
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{7}{15}$	$\frac{3}{10}$

∴Eξ=$0×\frac{1}{5}+1×\frac{7}{15}+2×\frac{3}{10}+3×\frac{1}{30}$=$\frac{7}{6}$．…12′

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，在歷年高考中都是必考題之一．