Question

11．在極坐標(biāo)系中，從四條曲線C₁：ρ=1、C₂：θ=$\frac{π}{3}$（ρ≥0）、C₃：ρ=cosθ、C₄：ρsinθ=1中隨機(jī)選取兩條，記它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量ξ，則隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=1．

Answer 1

分析 把極坐標(biāo)方程都化成普通直角坐標(biāo)方程的形式，求出他們交點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而ξ的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答 解：曲線C₁：ρ=1，即x²+y²=1，
C₂：θ=$\frac{π}{3}$（ρ≥0）即y=$\sqrt{3}x$，x≥0，
C₃：ρ=cosθ，即$（x-\frac{1}{2}）^{2}+{y}^{2}=\frac{1}{4}$，
C₄：ρsinθ=1，即y=1，
∴曲線C₁和C₂的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；曲線C₁和C₃的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；曲線C₁和C₄的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；
曲線C₂和C₃的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2；曲線C₂和C₄的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；曲線C₃和C₄的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0．
∴ξ的可能取值為0，1，2，
P（ξ=0）=$\frac{1}{6}$，
P（ξ=1）=$\frac{2}{3}$，
P（ξ=2）=$\frac{1}{6}$．
∴Eξ=$0×\frac{1}{6}+1×\frac{2}{3}+2×\frac{1}{6}$=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)方程、普通直角坐標(biāo)方程的互化的合理運(yùn)用．