Question

8．已知△ABC中，A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且bsinB=（sinA-sinC）（a+c）數列a_n=n2^n-1（|sinnA|+|cosnA|），
（1）求A；  
（2）求數列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由bsinB=（sinA-sinC）（a+c），利用正弦定理可得：b²=（a-c）（a+c），再利用勾股定理的逆定理即可得出．
（2）由（1）可得：數列a_n=n•2^n-1（|sinnA|+|cosnA|）=n•2^n-1．再利用“錯位相減法”與等比數列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）△ABC中，∵bsinB=（sinA-sinC）（a+c），
∴b²=（a-c）（a+c），即a²=b²+c²，
∴$A=\frac{π}{2}$．
（2）由（1）可得：數列a_n=n•2^n-1（|sinnA|+|cosnA|）=n•2^n-1．
∴數列{a_n}的前n項和S_n=1+2×2+3×2²+…+n•2^n-1，
2S_n=2+2×2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
∴-S_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-n•2ⁿ=（1-n）•2ⁿ-1，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ+1．

點評 本題考查了正弦定理、勾股定理的逆定理、“錯位相減法”與等比數列的前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．