Question

10．若函數(shù)f（x）=x²+2a|x|+a²-6的圖象與x軸有三個不同的交點，函數(shù)g（x）=f（x）-b有4個零點，則實數(shù)b的取值范圍是（-6，0）．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，結(jié)合函數(shù)與x軸交點個數(shù)得到f（0）=0，根據(jù)函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點問題進行求解即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
∴f（x）=x²+2a|x|+a²-6的圖象與x軸有三個不同的交點，
則必有f（0）=0，
即a²-6=0，即a²=6，
即a=±$\sqrt{6}$，
當(dāng)a=$\sqrt{6}$時，f（x）=x²+2$\sqrt{6}$|x|，此時函數(shù)f（x）只有1個零點，不滿足條件．
當(dāng)a=-$\sqrt{6}$時，f（x）=x²-2$\sqrt{6}$|x|，此時函數(shù)f（x）有3個零點，滿足條件，
此時f（x）=x²-2$\sqrt{6}$|x|=（|x|-$\sqrt{6}$）²-6，
∴f（x）≥-6，
由g（x）=f（x）-b=0得b=f（x），
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
要使函數(shù)g（x）=f（x）-b有4個零點，
則-6＜b＜0，
故答案為：（-6，0）

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)f（x）與x軸有三個不同的交點，得到f（0）=0是解決本題的關(guān)鍵．注意要利用數(shù)形結(jié)合進行求解．