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【題目】已知點A，B是拋物線上關于軸對稱的兩點，點E是拋物線C的準線與x軸的交點.

（1）若是面積為4的直角三角形，求拋物線C的方程；

（2）若直線BE與拋物線C交于另一點D，證明：直線AD過定點.

【答案】(1) ；(2) 證明見解析

【解析】

（1）根據直角三角形的性質，可以得到三點在以焦點為圓心，為半徑的圓上，故點，,,再根據三角形面積，即可求出。

（2）設,所在直線方程和拋物線方程，通過韋達定理，得到斜率的表達式，進而得到所在直線的表達式，通過化簡整理，即可證明。

解：（1）由題意，是等腰直角三角形，且

不妨設點A位于第一象限，則直線EA的方程為，

聯立方程，，解得

所以點，，

，解得，

故拋物線C的方程為

（2）（方法一）設，，則直線EB的方程為

聯立方程，，消去，

得關于的方程

該方程有一個根，兩根之積為，

則另一個根為，所以點D的坐標為

直線AD的斜率為

所以AD的方程為

化簡得

所以直線AD過定點

（方法二）設，，，直線BE的方程為，

聯立方程，，消去x，

得關于x的方程，所以

則

直線AD的方程為

化簡得

所以直線AD過定點

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系xOy中，曲線：，（為參數），將曲線上的所有點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標縮短為原來的后得到曲線，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為。

（1）求曲線的極坐標方程和直線l的直角坐標方程；

（2）設直線l與曲線交于不同的兩點A，B，點M為拋物線的焦點，求的值。

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【題目】已知函數

（1）當時，求函數的單調區(qū)間

（2）當時，求函數在上的最大值

（3）當時，又設函數，求證：當，且時，

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①；②當點為中點時，二面角的余弦值；③與所成角的正切值為；④當時，點的軌跡長為.

其中所有正確的結論序號是（ ）

A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④

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【題目】如圖，在四棱錐中，底面是矩形，是的中點，平面，且，．

（1）求證：；

（2）求與平面所成角的正弦值；

（3）求二面角的余弦值．

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【題目】袋中裝有除顏色外形狀大小完全相同的6個小球，其中有4個編號為1,2, 3, 4的紅球,2個編號為A、B的黑球，現從中任取2個小球.;

(1)求所取2個小球都是紅球的概率;

(2)求所取的2個小球顏色不相同的概率.

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【題目】如圖，矩形中， ， ， 在邊上，且，將沿折到的位置，使得平面平面.

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

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【題目】為建立健全國家學生體質健康監(jiān)測評價機制，激勵學生積極參加身體鍛煉，教育部印發(fā)《國家學生體質健康標準（2014年修訂）》，要求各學校每學年開展覆蓋本校各年級學生的《標準》測試工作.為做好全省的迎檢工作，某市在高三年級開展了一次體質健康模擬測試（健康指數滿分100分），并從中隨機抽取了200名學生的數據，根據他們的健康指數繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）估計這200名學生健康指數的平均數和樣本方差（同一組數據用該組區(qū)間的中點值作代表）；

（2）由頻率分布直方圖知，該市學生的健康指數近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數，近似為樣本方差.

①求；

②已知該市高三學生約有10000名，記體質健康指數在區(qū)間的人數為，試求.

附：參考數據，

若隨機變量服從正態(tài)分布，則，,.

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