Question

16．已知實(shí)數(shù)x，y滿足x²+y²≤1，則x+y-xy的最大值為1．

Answer 1

分析 由實(shí)數(shù)x、y滿足x²+y²≤1，利用三角函數(shù)代換x=cosθ，y=sinθ，令t=sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），（θ∈[0，2π）），x+y-xy轉(zhuǎn)化為-$\frac{1}{2}$（t-1）²+1，根據(jù)利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵實(shí)數(shù)x、y滿足x²+y²≤1，
∴可設(shè)x=cosθ，y=sinθ．
令t=sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），（θ∈[0，2π）），
∴-$\sqrt{2}$≤t≤$\sqrt{2}$，
則t²=1+2sinθcosθ，可得sinθcosθ=$\frac{1}{2}$（t²-1）．
∴x+y-xy=cosθ+sinθ-sinθcosθ=t-$\frac{1}{2}$（t²-1）=-$\frac{1}{2}$（t-1）²+1
當(dāng)且僅當(dāng)t=1，x+y-xy取得最大值為1．
故答案為：1

點(diǎn)評 本題考查了圓的參數(shù)方程、三角函數(shù)代換、三角函數(shù)基本關(guān)系式、二次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了轉(zhuǎn)化方法和計(jì)算能力，屬于中檔題．