Question

5．等比數(shù)列{a_n}滿足a₃+a₄=12，a₁a₆=32，且公比q＞1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若該數(shù)列前n項(xiàng)和S_n=63，求n的值．

Answer 1

分析 （1）由已知得a₃＜a₄，a₃，a₄是方程x²-12x+32=0的兩個根，解方程x²-12x+32=0，得a₃=4，a₄=8，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出a₁=1，q=2，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）等比數(shù)列{a_n}中，由a₁=1，q=2，求出通項(xiàng)公式，由此能求出結(jié)果．

解答 解：（1）∵等比數(shù)列{a_n}滿足a₃+a₄=12，a₁a₆=32，且公比q＞1，
∴a₃a₄=a₁a₆=32，a₃＜a₄，
∴a₃，a₄是方程x²-12x+32=0的兩個根，
解方程x²-12x+32=0，得a₃=4，a₄=8，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{q}^{2}=4}\\{{a}_{1}{q}^{3}=8}\end{array}\right.$，解得a₁=1，q=2，
∴${a}_{n}={2}^{n-1}$．
（2）∵等比數(shù)列{a_n}中，a₁=1，q=2，
∴S_n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1．
∵S_n=63，∴2ⁿ-1=63，解得n=6．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查項(xiàng)數(shù)的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．