Question

13．設(shè)a∈R，若對任意的x＞0均有（ax-1）（x²-（a+1）x-1）≥0，則a=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 a=0時，不等式不可能恒成立；a≠0，若對任意的x＞0時均有（ax-1）•[x²-（a+1）x-1]≥0，則函數(shù)y₁=ax-1，y₂=x²-（a+1）x-1，與x軸交于同一點，代入可得答案．

解答 解：（1）a=0時，代入題中不等式明顯不恒成立．
（2）a≠0，構(gòu)造函數(shù)y₁=ax-1，y₂=x²-（a+1）x-1，它們都過定點P（0，-1），

考查函數(shù)y₁=ax-1：
令y=0，得M（$\frac{1}{a}$，0），
∴a＞0；
考查函數(shù)y₂=x²-（a+1）x-1，
∵x＞0時均有（ax-1）[x²-（a+1）x-1]≥0，
∴y₂=x²-（a+1）x-1過點M（$\frac{1}{a}$，0），
代入得：（$\frac{1}{a}$）²-（a+1）•$\frac{1}{a}$-1=0，
解之得：a=$\frac{1}{2}$，或a=-1（舍去）．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查的知識點為函數(shù)恒成立問題，函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論思想，數(shù)形結(jié)合思想，難度中檔．