Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和對稱中心；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦函數(shù)的周期性單調(diào)性，求得函數(shù)的周期；利用正弦函數(shù)的圖象的對稱性求得該函數(shù)的對稱中心．
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（3）利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1的最小正周期$\frac{2π}{2}$=π．
由2x+$\frac{π}{4}$=kπ，解得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{8}$，
∴對稱中心為（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{8}$，1）．
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，（k∈Z），解得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，（k∈Z）．
（3）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上，2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
∴當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{8}$時，函數(shù)f（x）取得最大值$\sqrt{2}$+1，
當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$，即x=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)f（x）取得最小值0．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的周期性單調(diào)性、定義域和值域以及它的圖象的對稱性，屬于中檔題．