Question

2．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），橢圓E的右焦點(diǎn)到直線x-y+1=0的距離為$\sqrt{2}$，橢圓E的右頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)與到直線x=2的距離之比為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過原點(diǎn)O作兩條動(dòng)直線AC、BD分別交橢圓E與A、C和B、D兩點(diǎn)，且滿足$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=0，求四邊形ABCD面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)到直線方程，d=$\frac{丨c+1丨}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$及$\frac{a-1}{丨2-a丨}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求得a和c值，根據(jù)橢圓的性質(zhì)b²=a²-c²=1，求得b，即可求得橢圓方程；
（2）分類討論直線AC的斜率為0，直線AC的斜率不存在時(shí)，求得四邊形ABCD面積2$\sqrt{2}$，當(dāng)斜率存在且不為0時(shí)，將直線AC的方程代入橢圓方程，分別求得丨AC丨和丨BD丨，由S_ABCD=$\frac{1}{2}$丨AC丨•丨BD丨=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{\sqrt{2（{k}^{2}+1）^{2}+（{k}^{2}+1）-1}}$，換元，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得四邊形ABCD面積的最小值．

解答 解：（1）由橢圓E的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（c，0），由點(diǎn)到直線的距離公式可知d=$\frac{丨c+1丨}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
右頂點(diǎn)（a，0），由$\frac{a-1}{丨2-a丨}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a²=2，
由b²=a²-c²=1，
∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）由$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=0，
∴$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{BD}$，
當(dāng)直線AC的斜率為0，此時(shí)直線BF的斜率不存在，
易知求得四邊形ABCD的面積為S_ABCD=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×2=2$\sqrt{2}$，
同理，當(dāng)直線AC的斜率不存在時(shí)，四邊形ABCD的面積亦2$\sqrt{2}$，
當(dāng)中AC的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線AC的方程為y=kx，代入橢圓方程整理得：（1+2k²）x²=2，
∴丨AC丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•丨x_A-x_C丨=$\sqrt{\frac{8（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}}$，
∵$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{BD}$，
∴直線BD的方程為y=-$\frac{1}{k}$x，同理可知丨BD丨=$\sqrt{\frac{8（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}+2}}$，
∴S_ABCD=$\frac{1}{2}$丨AC丨•丨BD丨=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{\sqrt{（1+2{k}^{2}）（2+{k}^{2}）}}$=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{\sqrt{2（{k}^{2}+1）^{2}+（{k}^{2}+1）-1}}$，
令1+k²=t，（t＞0），則S_ABCD=$\frac{4t}{\sqrt{2{t}^{2}+t-1}}$=$\frac{4}{\sqrt{2+\frac{1}{t}-\frac{1}{{t}^{2}}}}$=$\frac{4}{\sqrt{-（\frac{1}{t}-\frac{1}{2}）+\frac{9}{4}}}$，
∵$\frac{1}{t}$∈（0，1），
∴S_ABCD≥$\frac{8}{3}$，當(dāng)t=2時(shí)，即k=±1時(shí)取等號(hào)，
又∵$\frac{8}{3}$＜2$\sqrt{2}$，
∴S_ABCD的最小值為$\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與橢圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，一元二次函數(shù)的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．