Question

已知函數(shù)f(x)=2kx2+kx-

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．
（1）若f（x）有零點，求k的取值范圍；
（2）若f（x）＜0對一切x∈R都成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)的零點,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）依題意，k≠0，f（x）=2kx²+kx-

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為二次函數(shù)，利用二次方程2kx²+kx-

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=0有實數(shù)根的條件△≥0即可求得答案；
（2）通過對k=0與k±0的討論，利用函數(shù)恒成立問題解關(guān)于k的不等式即可．

解答： 解：（1）k=0時，f（x）=-

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，無零點，
∴k≠0，f（x）=2kx²+kx-

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為二次函數(shù)．
∵f（x）=2kx²+kx-

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有零點，
∴二次方程2kx²+kx-

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=0有實數(shù)根，
∴△=k²-4×2k×（-

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）=k²+3k≥0，又k≠0，
解得：k＞0或k≤-3．
即k的取值范圍為（-∞，-3]∪（0，+∞）．
（2）當(dāng)k=0時，f（x）=-

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＜0對一切x∈R都成立，故k=0時符合題意；
當(dāng)k≠0，f（x）=2kx²+kx-

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為二次函數(shù)，
要使f（x）＜0對一切x∈R都成立，
必須滿足

2k＜0 △=k2+3k＜0

，
解得：-3＜k＜0；
綜上所述，f（x）＜0對一切x∈R都成立時k的取值范圍為（-3，0]．

點評：本題考查函數(shù)的零點，著重考查函數(shù)恒成立問題，突出分類討論思想的考查，屬于中檔題．