Question

10．已知函數(shù)f（x）=x³+2ax-（2a+3）x+a²，（a∈R）．
（Ⅰ）當$a=\frac{1}{2}$時，求f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上有極小值，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）當x∈[-1，1]時，恒有f（x）＞0成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出當$a=\frac{1}{2}$時，f（x）的解析式和導數(shù)，求得在點（0，f（0））處的切線斜率和切點，由斜截式方程即可得到切線方程；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導數(shù)，令導數(shù)為0，解方程可得極值點，再令$-\frac{2a+3}{3}＞1$，即可解得a的范圍；
（Ⅲ）由題意知，即使x∈[-1，1]時，（f（x））_min＞0．對a討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，解不等式，最后求并集即可得到a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）當$a=\frac{1}{2}$時，$f（x）={x^3}+\frac{1}{2}{x^2}-4x+\frac{1}{4}$，
∴f′（x）=3x²+x-4，∴f′（0）=-4，又f（0）=$\frac{1}{4}$，
∴切線方程為$y=-4x+\frac{1}{4}$；
（Ⅱ）f′（x）=3x²+2ax-（2a+3）=（3x+2a+3）（x-1）
令f′（x）=0，得x=1或$x=-\frac{2a+3}{3}$，
要使函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上有極小值點，
必須有$-\frac{2a+3}{3}＞1$，
解得a＜-3；       
（Ⅲ）由題意知，即使x∈[-1，1]時，（f（x））_min＞0．
討論①當$-\frac{2a+3}{3}≥1$，即a≤-3時，f（x）在x∈[-1，1]上單調(diào)遞增，${（f（x））_{min}}=f（-1）={a^2}+3a+2＞0$，得a＞-1或a＜-2，
由此得：a≤-3；      
②當$-1＜-\frac{2a+3}{3}＜1$，即-3＜a＜0，
f（x）在$[{-1，-\frac{2a+3}{3}}]$為增函數(shù)，在$[{-\frac{2a+3}{3}，1}]$上為減函數(shù)，
所以（f（x））_min=min{f（-1），f（1）}，
得$\left\{{\begin{array}{l}{f（-1）={a^2}+3a+2＞0}\\{f（1）={a^2}-a-2＞0}\end{array}}\right.$解得a＞2或a＜-2，
由此得-3＜a＜-2；
③當$-\frac{2a+3}{3}≤-1$，即a≥0，f（x）在x∈[-1，1]上為減函數(shù)，
所以${（f（x））_{min}}=f（1）={a^2}-a-2＞0$得a＞2或a＜-1，由此得a＞2；
由①②③得實數(shù)a的取值范圍為a＞2或a＜-2．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線方程和函數(shù)的極值，同時考查不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，屬于中檔題．