Question

1．如果一個正四棱柱與一個圓柱的體積相等，那么我們稱它們是一對“等積四棱圓柱”．將“等積四棱圓柱”的正四棱柱、圓柱的表面積與高分別為S₁、S₂與h₁、h₂．
（1）若h₁=h₂=1，S₁=6，求S₂的值；
（2）若h₁=h₂，求證：S₁＞S₂；
（3）求實(shí)數(shù)λ的取值范圍，使得存在一堆“等積四圓柱”，滿足S₁=S₂與$\frac{{h}_{2}}{{h}_{1}}$=λ．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出正四棱柱的底面邊長為a，圓柱底面邊長為r，由題意列出兩柱體體積等式及表面積公式，由S₁=6求得a=1．得到r值，代入圓柱表面積公式得答案；
（2）由兩柱體體積相等與高相等得到a²=πr²，把兩表面積作差即可證得結(jié)論；
（3）由$\frac{{h}_{2}}{{h}_{1}}$=λ，得h₂=λh₁，代入體積相等等式得到a²=λπr²，再把a(bǔ)用含r的代數(shù)式表示，由S₁=S₂，列式求出r，結(jié)合r＞0，得關(guān)于λ的不等式組，求解不等式組得答案．

解答 （1）解：設(shè)正四棱柱的底面邊長為a，圓柱底面邊長為r，
則${a}^{2}{h}_{1}=π{r}^{2}{h}_{2}$，${S}_{1}=2{a}^{2}+4a{h}_{1}，{S}_{2}=2π{r}^{2}+2πr{h}_{2}$，
由h₁=h₂=1，S₁=6，得2a²+4a=6，解得：a=1．
∴πr²×1=1²×1，即$r=\sqrt{\frac{1}{π}}$．
${S}_{2}=2π×\frac{1}{π}×1+2π×\sqrt{\frac{1}{π}}×1$=$2+2\sqrt{π}$；
（2）證明：h₁=h₂，則a²=πr²，
${S}_{1}-{S}_{2}=2{a}^{2}+4a{h}_{1}-（2π{r}^{2}+2πr{h}_{2}）$=$2π{r}^{2}+4a{h}_{1}-2π{r}^{2}-2πr{h}_{1}$
=$4a{h}_{1}-2πr{h}_{1}=2{h}_{1}r（\sqrt{4π}-π）＞0$．
∴S₁＞S₂；
（3）解：由$\frac{{h}_{2}}{{h}_{1}}$=λ，得h₂=λh₁，
則a²=λπr²，$a=\sqrt{λπr}$，
又S₁=S₂，∴$（λ-1）πr=πλ{(lán)h}_{1}-2\sqrt{πλ}{h}_{1}$，
$r=\frac{（\sqrt{πλ}-2）\sqrt{πλ}{h}_{1}}{（λ-1）π}$，
∵r＞0，∴$\frac{\sqrt{πλ}-2}{λ-1}＞0$，得
$\left\{\begin{array}{l}{λ＞1}\\{\sqrt{πλ}＞2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{λ＜0}\\{\sqrt{πλ}＜2}\end{array}\right.$，解得：λ∈（0，1）∪（$\frac{4}{π}，+∞$）．

點(diǎn)評 本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，是中檔題．