Question

14．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=$\frac{3}{5}$，a_na_n-1+1=2a_n-1（n≥2，n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足${b_n}=\frac{1}{{{a_n}-1}}$（n∈N^*）
（1）求證數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}中的最大項與最小項，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過b_n+1-b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$、利用a_na_n-1+1=2a_n-1代入化簡即得結(jié)論；
（2）通過（1）可知b_n=n-$\frac{7}{2}$，進而a_n=1+$\frac{2}{2n-7}$，計算即得結(jié)論．

解答 （1）證明：依題意，b_n+1-b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$
=$\frac{{（a}_{n}-1）-（{a}_{n+1}-1）}{（{a}_{n+1}-1）（{a}_{n}-1）}$
=$\frac{{a}_{n}-{a}_{n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}-{a}_{n}-{a}_{n+1}+1}$
=$\frac{{a}_{n}-{a}_{n+1}}{2{a}_{n}-{1-a}_{n}-{a}_{n+1}+1}$
=$\frac{{a}_{n}-{a}_{n+1}}{{a}_{n}-{a}_{n+1}}$
=1，
又∵b₁=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$=-$\frac{5}{2}$，
∴數(shù)列{b_n}是以-$\frac{5}{2}$為首項、1為公差的等差數(shù)列；
（2）解：由（1）可知b_n=-$\frac{5}{2}$+（n-1）•1=n-$\frac{7}{2}$，
∴a_n=1+$\frac{1}{_{n}}$=1+$\frac{1}{n-\frac{7}{2}}$=1+$\frac{2}{2n-7}$，
顯然當(dāng)n=4時1+$\frac{2}{2n-7}$取最大值3，當(dāng)n=3時1+$\frac{2}{2n-7}$取最小值-1，
∴數(shù)列{a_n}中的最大項為a₄=3，最小項為a₃-1．

點評 本題考查等差數(shù)列的判定，考查數(shù)列的通項，注意解題方法的積累，屬于中檔題．