Question

已知集合A={y|y=-2^x，x∈[2，3]}，B={x|x²+3x-a²-3a＞0}．
（1）當(dāng)a=4時，求A∩B；
（2）若命題“x∈A”是命題“x∈B”的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：交集及其運算,必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：集合

分析：（1）求出集合A，B的元素，利用集合的基本運算即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合集合之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）當(dāng)a=4時，B={x|x²+3x-a²-3a＞0}={x|x²+3x-28＞0}={x|x＞4或x＜-7}．
A={y|y=-2^x，x∈[2，3]}={y|-8＜y＜-4}，
則A∩B={x|-8＜x＜-7}．
（2）若命題“x∈A”是命題“x∈B”的充分不必要條件，則A⊆B，
B={x|x²+3x-a²-3a＞0}={x|（x-a）（x+a+3）＞0}．
對應(yīng)方程的兩個根為x=a或x=-a-3，
①若a=-a-3，即a=-

3

2

，此時B={x|x≠-

3

2

}，滿足A⊆B，
②若a＜-a-3，即a＜-

3

2

，此時B={x|x＞-a-3或x＜a}}，
若滿足A⊆B，則a＞-4或-a-3＜-8，解得a＞-4或a＞5（舍去），
此時-1＜a＜-

3

2

．
③若a＞-a-3，即a＞-

3

2

，此時B={x|x＞a或x＜-a-3}}，
若滿足A⊆B，則-a-3＞-4或a＜-8（舍），解得-

3

2

＜a＜1．
綜上-4＜a＜1．

點評：本題主要考查集合的基本運算以及充分條件和必要條件的應(yīng)用，注意要進行分類討論．