Question

2．某研究性學(xué)習(xí)小組為了解學(xué)生每周用于體育鍛煉時間的情況，在甲、乙兩所學(xué)校隨機抽取了各50名學(xué)生，做問卷調(diào)查，并作出如下頻率分布直方圖：

（Ⅰ）根據(jù)直方圖計算：兩所學(xué)校被抽取到的學(xué)生每周用于體育鍛煉時間的平均數(shù)；
（Ⅱ）在這100名學(xué)生中，要從每周用于體育鍛煉時間不低于10小時的學(xué)生中選出3人，該3人中來自乙學(xué)校的學(xué)生數(shù)記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率分布直方圖能求出兩所學(xué)校被抽取到的學(xué)生每周用于體育鍛煉時間的平均數(shù)．
（Ⅱ）每周體育鍛煉時間不低于10個小時的學(xué)生中，甲校有2人，乙校有4人，X的所有可能取值有1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖得甲校被抽取到的學(xué)生每周用于體育鍛煉時間的平均數(shù)為：
$\overline{{x}_{甲}}$=0.12×5.5+0.24×6.5+0.32×7.5+0.20×8.5+0.08×9.5+0.04×10.5=7.5．
乙校被抽取到的學(xué)生每周用于體育鍛煉時間的平均數(shù)為：
$\overline{{x}_{乙}}$=0.08×5.5+0.24×6.5+0.28×7.5+0.24×8.5+0.08×9.5+0.08×10.5=7.74．
（Ⅱ）每周體育鍛煉時間不低于10個小時的學(xué)生中，甲校有2人，乙校有4人，
X的所有可能取值有1，2，3，
P（X=1）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{2}^{0}{C}_{4}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
∴X的分布列為：

X	1	2	3
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

EX=$1×\frac{1}{5}+2×\frac{3}{5}+3×\frac{1}{5}=2$．

點評 本題考查平均數(shù)的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意頻率分布直方圖的性質(zhì)的合理運用．