Question

10．已知二次函數(shù)y=f（x）的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)f′（x）=6x-2，數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)（n，S_n）（n∈N^*）均在y=f（x）的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)${b_n}=\frac{3}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求當(dāng)${T_n}≥\frac{m}{20}$對(duì)所有n∈N^*都成立m取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過圖象特征及導(dǎo)函數(shù)可知f（x）=3x²-2x，并代入點(diǎn)（n，S_n）（n∈N^*）整理可知S_n=3n²-2n，進(jìn)而與S_n-1=3（n-1）²-2（n-1）（n≥2）作差，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過（1）裂項(xiàng)可知b_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{6n-5}$-$\frac{1}{6n+1}$），進(jìn)而并項(xiàng)相加可知T_n=$\frac{3n}{1+6n}$，通過T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{6n+1}$）隨著n的增大而增大可知$\frac{3}{7}$≥$\frac{m}{20}$，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意，f（x）=3x²-2x，
∵點(diǎn)（n，S_n）（n∈N^*）均在y=f（x）的圖象上，
∴S_n=f（n）=3n²-2n，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=3（n-1）²-2（n-1），
兩式相減得：a_n=6n-5（n≥2），
又∵a₁=S₁=3-2=1滿足上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=6n-5；
（2）由（1）可知${b_n}=\frac{3}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{3}{（6n-5）（6n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{6n-5}$-$\frac{1}{6n+1}$），
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{13}$+…+$\frac{1}{6n-5}$-$\frac{1}{6n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{6n+1}$）=$\frac{3n}{1+6n}$，
∵T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{6n+1}$）隨著n的增大而增大，
∴T_n≥T₁=$\frac{3}{1+6}$=$\frac{3}{7}$，
又∵${T_n}≥\frac{m}{20}$對(duì)所有n∈N^*都成立，
∴$\frac{3}{7}$≥$\frac{m}{20}$，解得：m≤$\frac{60}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．