Question

17．某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則一個質(zhì)點從扇形的圓心起始，繞幾何體的側(cè)面運動一周回到起點，其最短路徑為（　　）

• A． 4+$\frac{4π}{3}$
• B． 6$\sqrt{3}$
• C． 4+$\frac{2π}{3}$
• D． 6

Answer 1

分析 作出幾何體側(cè)面展開圖，將問題轉(zhuǎn)化為平面上的最短問題解決．

解答 解：由三視圖可知幾何體為圓錐的一部分，圓錐的底面半徑為2，幾何體底面圓心角為120°，
∴幾何體底面弧長為$\frac{1}{3}×2π×2$=$\frac{4π}{3}$．
圓錐高為2$\sqrt{3}$．∴圓錐的母線長為$\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}=4$．
作出幾何體的側(cè)面展開圖如圖所示：
其中，AB=AB′=2$\sqrt{3}$，AB⊥BC，AB′⊥B′D，B′D=BC=2，
AC=AD=4，$\widehat{CD}=\frac{4π}{3}$．
∴∠BAC=∠B′AD=30°，∠CAD=$\frac{\widehat{CD}}{AC}=\frac{π}{3}=60°$．
∴∠BAB′=120°．
∴BB′=$\sqrt{A{B}^{2}+AB{′}^{2}-2AB•AB′cos120°}$=6．
故選D．

點評 本題考查了圓錐的側(cè)面展開圖，曲面上最短路徑問題，作出側(cè)面展開圖是解題關(guān)鍵．