Question

13．設(shè)p：函數(shù)f（x）=x³-3x-a在x∈[$-\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$]內(nèi)有零點；q：a＞0，函數(shù)g（x）=x²-alnx在區(qū)間$（0，\frac{a}{2}）$內(nèi)是減函數(shù)．若p和q有且只有一個為真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 把函數(shù)f（x）=x³-3x-a在x∈[$-\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$]內(nèi)有零點，轉(zhuǎn)化為a在函數(shù)y=x³-3x（x∈[$-\frac{1}{2}，\sqrt{3}$]）的值域內(nèi)．
利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)y=x³-3x在[$-\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$]上的最值求得p：$a∈[-2，\frac{11}{8}]$．再由函數(shù)g（x）=x²-alnx在區(qū)間$（0，\frac{a}{2}）$內(nèi)是減函數(shù)，得g′（x）=2x-$\frac{a}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-a}{x}$（x＞0）在$（0，\frac{a}{2}）$內(nèi)小于等于0恒成立，由此求出q：a∈（0，2]．然后分p真q假和p假q真求得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=x³-3x-a在x∈[$-\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$]內(nèi)有零點，
等價于a在函數(shù)y=x³-3x（x∈[$-\frac{1}{2}，\sqrt{3}$]）的值域內(nèi)．
由y′=3x²-3，可知當(dāng)x∈[$-\frac{1}{2}$，1）時，y′＜0，當(dāng)x∈（1，$\sqrt{3}$]時，y′＞0，
∴y=x³-3x在[$-\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$]上的極小值為-2，又當(dāng)x=-$\frac{1}{2}$時，y=$\frac{11}{8}$，當(dāng)x=$\sqrt{3}$時，y=0．
∴p：$a∈[-2，\frac{11}{8}]$．
函數(shù)g（x）=x²-alnx在區(qū)間$（0，\frac{a}{2}）$內(nèi)是減函數(shù)．
則g′（x）=2x-$\frac{a}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-a}{x}$（x＞0）在$（0，\frac{a}{2}）$內(nèi)小于等于0恒成立，
∴$\sqrt{\frac{a}{2}}$≥$\frac{a}{2}$，則0≤a≤2，又a＞0，
∴q：a∈（0，2]．
當(dāng)p真q假時，a∈[-2，0]，當(dāng)p假q真時，$a∈（\frac{11}{8}，2]$．
綜上，a的取值范圍為[-2，0]∪$（\frac{11}{8}，2]$．

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了函數(shù)零點的判斷方法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，是中檔題．