Question

15．老師給出問題：“設函數f（x）的定義域是（0，1），且滿足：①對于任意的x∈（0，1），f（x）＞0；②對于任意的x₁，x₂∈（0，1），恒有$\frac{{f（{x_1}）}}{{f（{x_2}）}}+\frac{{f（1-{x_1}）}}{{f（1-{x_2}）}}$≤2．請同學們對函數f（x）進行研究”．經觀察，同學們提出以下幾個猜想：
甲同學說：f（x）在$（0，\frac{1}{2}]$上遞減，在$[\frac{1}{2}，1）$上遞增；
乙同學說：f（x）在$（0，\frac{1}{2}]$上遞增，在$[\frac{1}{2}，1）$上遞減；
丙同學說：f（x）的圖象關于直線x=$\frac{1}{2}$對稱；
丁同學說：f（x）肯定是常函數．
你認為他們的猜想中正確的猜想個數有（　　）

• A． 3個
• B． 2個
• C． 1個
• D． 0個

Answer 1

分析 利用賦值法，結合基本不等式的性質進行判斷即可．

解答 解：令x₁=1-x₂，
則不等式$\frac{{f（{x_1}）}}{{f（{x_2}）}}+\frac{{f（1-{x_1}）}}{{f（1-{x_2}）}}$≤2等價為$\frac{f（1-{x}_{2}）}{f（{x}_{2}）}$+$\frac{f（{x}_{2}）}{f（1-{x}_{2}）}$≤2，
由①知對于任意的x∈（0，1），f（x）＞0；
則$\frac{f（1-{x}_{2}）}{f（{x}_{2}）}$+$\frac{f（{x}_{2}）}{f（1-{x}_{2}）}$≥2$\sqrt{\frac{f（1-{x}_{2}）}{f（{x}_{2}）}•\frac{f（{x}_{2}）}{f（1-{x}_{2}）}}$=2，
故$\frac{f（1-{x}_{2}）}{f（{x}_{2}）}$+$\frac{f（{x}_{2}）}{f（1-{x}_{2}）}$=2當且僅當$\frac{f（1-{x}_{2}）}{f（{x}_{2}）}$=$\frac{f（{x}_{2}）}{f（1-{x}_{2}）}$=1即f（x₂）=f（1-x₂）時成立．
此時函數f（x）關于x=$\frac{1}{2}$對稱，
故丙猜想正確．
由丙同學可知f（x）關于x=$\frac{1}{2}$對稱，
則f（x₁）=f（1-x₁），f（x₂）=f（1-x₂），
則不等式$\frac{{f（{x_1}）}}{{f（{x_2}）}}+\frac{{f（1-{x_1}）}}{{f（1-{x_2}）}}$≤2等價$\frac{f（{x}_{1}）}{f（{x}_{2}）}$+$\frac{f（{x}_{1}）}{f（{x}_{2}）}$≤2，
即2$\frac{f（{x}_{1}）}{f（{x}_{2}）}$≤2，則$\frac{f（{x}_{1}）}{f（{x}_{2}）}$≤1，
∵對于任意的x∈（0，1），f（x）＞0，
∴f（x₁）≤f（x₂），則f（x₁）=f（x₂）恒成立，即函數f（x）為常數函數，故丁正確，
其他不一定正確，
故選：B．

點評 本題主要考查抽象函數的應用，利用賦值法結合基本不等式的性質是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一定的難度．