Question

已知點(diǎn)E（-2，0），F(xiàn)（2，0），曲線C上的動(dòng)點(diǎn)M滿足

ME

•

MF

=-3，定點(diǎn)A（2，1），由曲線C外一點(diǎn)P（a．b），P（a，b）向曲線C引切線PQ，切點(diǎn)為Q，且滿足|PQ|=|PA|．
（1）求曲線C的方程；
（2）求線段PQ長(zhǎng)的最小值；
（3）若以P為圓心所作的圓P與曲線C有公共點(diǎn)，試求半徑取最小值時(shí)圓P的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（1）設(shè)出M的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積公式化簡(jiǎn)，可得曲線C的方程；
（2）求出P的坐標(biāo)之間的關(guān)系，表示出線段PQ長(zhǎng)，利用配方法可求PQ的最小值；
（3）根據(jù)P為圓心所作的圓P與曲線C有公共點(diǎn)，確定半徑的范圍，利用配方法，即可求半徑取最小值時(shí)圓P的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答： 解：（1）設(shè)M（x，y），則

ME

=(-2-x，-y)，

MF

=(2-x，-y)，
∴

ME

•

MF

=（-2-x，-y）•（2-x，-y）=x²-4+y²=-3，
∴x²+y²=1
∴M點(diǎn)軌跡（曲線C）方程為x²+y²=1；
（2）連結(jié)OP，∵Q為切點(diǎn)，∴PQ⊥OQ，
由勾股定理有：|PQ|²=|OP|²-|OQ|²．
又由已知|PQ|=|PA|，故|PQ|²=|PA|²．
即：（a²+b²）-1²=（a-2）²+（b-1）²，
化簡(jiǎn)得實(shí)數(shù)a、b間滿足的等量關(guān)系為：2a+b-3=0，即b=-2a+3．（6分）
∴|PQ|=

a2+b2-1

5a2-12a+8

=

5(a- 6 5 )2+ 4 5

，
故當(dāng)a=

6

5

時(shí)，線段PQ長(zhǎng)的最小值為

2

5

5

；（8分）
（3）設(shè)圓P的半徑為R，則
∵圓P與圓O有公共點(diǎn)，圓O的半徑為1，
∴|R-1|≤|OP|≤R+1即R≥|OP|-1且R≤|OP|+1．
而|OP|=

a2+b2

=

a2+(-2a+3)2

=

5(a- 6 5 )2+ 9 5

，
故當(dāng)a=

6

5

時(shí)，|OP|_min=

3

5

5

．
此時(shí)b=-2a+3=

3

5

，Rmin=

3

5

5

-1．
∴半徑取最小值時(shí)圓P的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-

6

5

)2+(y-

3

5

)2=(

3

5

5

-1)2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程，考查軌跡方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查圓與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．