Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex﹣ax﹣1，（a為實(shí)數(shù)），g（x）=lnx﹣x
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)g（x）的極值；
（3）求證：lnx＜x＜ex（x＞0）

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得f′（x）=ex﹣a

當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，

當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）＞0可得x＞lna，由f′（x）＜0可得x＜lna，

故函數(shù)f（x）在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，在（﹣∞，lna）上單調(diào)遞減

（2）解：函數(shù)g（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）， ，

由g′（x）＞0可得0＜x＜1；由g′（x）＜0，可得x＞1．

所以函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，

故函數(shù)g（x）在x=1取得極大值，其極大值為ln1﹣1=﹣1

（3）證明：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=ex﹣x﹣1，

由（1）知，f（x）=ex﹣x﹣1在x=ln1=0處取得極小值，也是最小值，

且f（x）min=0，故ex﹣x﹣1＞0（x＞0），得到ex＞x+1（x＞0）．

由（2）知，g（x）=lnx﹣x在x=l處取得最大值，且g（x）max=﹣1，

故lnx﹣x≤﹣1（x＞0），得到lnx≤x﹣1＜x（x＞0）．

綜上lnx＜x＜ex（x＞0）．

【解析】（1）求導(dǎo)數(shù)得到f′（x）=ex﹣a，然后討論a的符號(hào)，從而可判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)，這樣即可求出每種情況下函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）可先求出函數(shù)g（x）的定義域，然后求導(dǎo)，判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，從而根據(jù)極值的概念求出函數(shù)g（x）的極值；（3）可知a=1時(shí)，f（x）在x=0處取得極小值，從而可得出ex＞x+1，而由（2）可知g（x）在x=1處取得極大值，也是最大值﹣1，這樣即可得出lnx≤x﹣1＜x，這樣便可得出要證的結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減，以及對(duì)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．