7．求證：$\sqrt{n}$+$\sqrt{n+1}$＜$\sqrt{4n+2}$（n∈N*）

分析 運用分析法證明不等式，結合兩邊平方，即可得證．

解答 證明：要證$\sqrt{n}$+$\sqrt{n+1}$＜$\sqrt{4n+2}$（n∈N*），
即證（$\sqrt{n}$+$\sqrt{n+1}$）2＜（$\sqrt{4n+2}$）2（n∈N*）
即有2n+1+2$\sqrt{{n}^{2}+n}$＜4n+2，
即為2$\sqrt{{n}^{2}+n}$＜2n+1，
即有4n2+4n＜4n2+4n+4，
即有0＜4成立．
則$\sqrt{n}$+$\sqrt{n+1}$＜$\sqrt{4n+2}$（n∈N*）．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用分析法證明，考查推理能力，屬于基礎題．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

17．已知f（x）是定義在[0，+∞）上的單調遞增函數(shù)，則滿足f （2x-1）＜f（$\frac{1}{3}$）的x的取值范圍是（　�。�
A．（ $\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$ ）B．[$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$ ）C．[$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$ ）D．（ $\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$ ）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

18．設函數(shù)$f（x）=cos（2x-\frac{4π}{3}）+2{cos^2}x$
（1）把函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{2}$個單位，再向下平移$\frac{3}{2}$個單位得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在區(qū)間$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{6}}]$上的最小值，并求出此時x的值；
（2）已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若$f（B+C）=\frac{3}{2}，b+c=2$．求a的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

15．（1）已知0＜α＜β＜$\frac{π}{2}$，sinα=$\frac{3}{5}$，cos（α-β）=$\frac{12}{13}$，求cosβ的值；
（2）在△ABC中，sinA-cosA=$\frac{2}{3}$，求cos2A的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

2．已知-個三棱錐與一個四棱錐，它們的所有棱為1，將三棱錐與四棱錐的側面粘在一起使之完全重合，則所得到的多面體是（　�。�
A．五面體B．六面體C．七面體D．八面體

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

12．已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2nan（n∈N+），則數(shù)列{an}的通項公式為（　�。�
A．an=2n-1B．an=2nC．an=2${\;}^{\frac{n（n-1）}{2}}$D．an=2${\;}^{\frac{{n}^{2}}{2}}$

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

19．在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，直線l過橢圓C的右焦點F，且交橢圓C于A，B兩點，已知點D（$\frac{5}{2}$，0），連結BD，過點A作垂直于y軸的直線l1，設直線l1與直線BD交于一點P，是否存在一條定直線l2，使得點P恒在直線l2上？若存在，請求出直線l2的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

16．設橢圓的焦點為F1（-5，0），F(xiàn)2（5，0），橢圓上的點M與兩個焦點所構成的三角形的周長為32，求橢圓的標準方程，并作出圖形．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

17．已知f（x）=x2+2x+2，當x∈[1，2]，f（x）≥a恒成立，則a的取值范圍（-∞，5]．

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