Question

19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，直線l過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F，且交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)D（$\frac{5}{2}$，0），連結(jié)BD，過(guò)點(diǎn)A作垂直于y軸的直線l₁，設(shè)直線l₁與直線BD交于一點(diǎn)P，是否存在一條定直線l₂，使得點(diǎn)P恒在直線l₂上？若存在，請(qǐng)求出直線l₂的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 如圖所示，假設(shè)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為my=x-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立：（3m²+4）y²+6my-9=0，直線BD的方程為：y-y₂=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-\frac{5}{2}}$（x-x₂），令y=y₁，化簡(jiǎn)整理代入根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

解答 解：如圖所示，
F（1，0），
假設(shè)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為my=x-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化為（3m²+4）y²+6my-9=0，
△＞0，
∴y₁+y₂=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{-9}{3{m}^{2}+4}$，
直線BD的方程為：y-y₂=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-\frac{5}{2}}$（x-x₂），
令y=y₁，
則x=x₂+$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{x}_{2}-\frac{5}{2}）}{{y}_{2}}$=$\frac{m{y}_{1}{y}_{2}-\frac{3}{2}{y}_{1}+\frac{5}{2}{y}_{2}}{{y}_{2}}$=$\frac{m{y}_{1}{y}_{2}+\frac{5}{2}（{y}_{1}+{y}_{2}）-4{y}_{1}}{{y}_{2}}$，
∴xy₂+4y₁=$\frac{-9m}{3{m}^{2}+4}$+$\frac{-15m}{3{m}^{2}+4}$=4（y₁+y₂），
∴x=4，
當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，也成立．
因此存在一條定直線l₂，其方程為：x=4，使得點(diǎn)P恒在直線l₂上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、直線的方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．