Question

已知下列命題中：
①若

a

•

b

=

a

•

c

，則

b

=

c

；          
②x=

π

8

是函數(shù)y=sin（2x+

5π

4

）的一條對稱軸方程；
③已知△ABC中，a=4

3

，b=4，∠B=30°，則∠A等于60°；
④存在實數(shù)x，使得sinx+cosx=

π

2

成立；
⑤已知函數(shù)f（x）=

sinπx，x＜0 x ， x＞0

，則方程f（x）=x在[-2，2]上的實數(shù)解的個數(shù)為3．
其中正確的命題序號為

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由向量的數(shù)量積的定義可判斷①；根據(jù)正弦函數(shù)的對稱軸方程，令2x+

5π

4

=kπ+

π

2

，求出x，考慮k，即可判斷②；由正弦定理求出sinA，由a＞b，得A＞B，從而得到A，即可判斷③；化簡sinx+cosx，求出最大值，并與

π

2

比較，從而判斷④；可畫出函數(shù)f（x）在[-2，2]的圖象和y=x在[-2，2]的圖象，并結(jié)合零點存在定理，即可判斷⑤．

解答： 解：①若

a

•

b

=

a

•

c

，則

a

•(

b

-

c

)=0，故

a

=

0

或

b

-

c

=

0

或

a

⊥(

b

-

c

)，故①錯；
②令2x+

5π

4

=kπ+

π

2

，則x=

kπ

2

-

3π

8

，k∈Z，當(dāng)k=1時，
即為x=

π

8

，故②正確；
③由正弦定理得，

4 3

sinA

=

4

sin30°

即sinA=

3

2

，又a＞b，即A＞B，
則A=120°或60°，故③錯；
④由于sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），即最大值為

2

，而

π

2

＞

2

，
故不存在實數(shù)x，故④錯；
⑤令

x

=x，則x=0或1∈[-2，2]，
令g（x）=sinπx-x（-2≤x＜0），g（-2）=2＞0，g（-1.5）=2.5＞0，
g（-1）=1＞0，g（-0.5）=-0.5＜0，g（0）=0，
由零點存在定理得，在（-1，-0.5）恰有一個零點，
如圖，故方程f（x）=x在[-2，2]上的實數(shù)解的個數(shù)為3，故⑤正確．
故答案為：②⑤

點評：本題以命題的真假判斷為載體，考查向量數(shù)量積的性質(zhì)，即不滿足消去律，考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及函數(shù)的零點問題，注意結(jié)合圖象考慮．