Question

8．已知第一象限內(nèi)的點(diǎn)M既在雙曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上，又在拋物線C₂：y²=2px上，設(shè)C₁的左，右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，若C₂的焦點(diǎn)為F₂，且△MF₁F₂是以MF₁為底邊的等腰三角形，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 1+$\sqrt{2}$
• D． 2+$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)條件得到拋物線和雙曲線的焦點(diǎn)相同，根據(jù)雙曲線和拋物線的定義得到△MF₁F₂為等腰直角三角形，利用定義建立方程進(jìn)行求解即可．

解答 解∵設(shè)C₁的左，右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，若C₂的焦點(diǎn)為F₂，
∴拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-c，
若△MF₁F₂是以MF₁為底邊的等腰三角形，
由于點(diǎn)M也在拋物線上，
∴過(guò)M作MA垂直準(zhǔn)線x=-c
則MA=MF₂=F₁F₂，
則四邊形AMF₂F₁為正方形，
則△MF₁F₂為等腰直角三角形，
則MF₂=F₁F₂=2c，MF₁=$\sqrt{2}$MF₂=2$\sqrt{2}$c，
∵M(jìn)F₁-MF₂=2a，
∴2$\sqrt{2}$c-2c=2a，
則（$\sqrt{2}$-1）c=a，
則離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$=1+$\sqrt{2}$，
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線離心率的計(jì)算，根據(jù)雙曲線和拋物線的定義得到△MF₁F₂為等腰直角三角形是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化和推理能力．