Question

19．如圖，在直角△ABC中，AB⊥BC，D為BC邊上異于B、C的一點，以AB為直徑作⊙O，并分別交AC，AD于點E，F(xiàn)．
（Ⅰ）證明：C，E，F(xiàn)，D四點共圓；
（Ⅱ）若D為BC的中點，且AF=3，F(xiàn)D=1，求AE的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)EF，BE，說明AB是⊙O是直徑，推出∠ABE=∠C，然后證明C，E，F(xiàn)，D四點共圓．
（Ⅱ）利用切割線定理求解BD，利用C、E、F、D四點共圓，得到AE•AC=AF•AD，然后求解AE．

解答 （Ⅰ）證明：連結(jié)EF，BE，則∠ABE=∠AFE，因為AB是⊙O是直徑，
所以，AE⊥BE，又因為AB⊥BC，∠ABE=∠C，
所以∠AFE=∠C，即∠EFD+∠C=180°，
∴C，E，F(xiàn)，D四點共圓．
（Ⅱ）解：因為AB⊥BC，AB是直徑，
所以，BC是圓的切線，DB²=DF•DA=4，即BD=2，
所以，AB=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
因為D為BC的中點，所以BC=4，AC=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
因為C、E、F、D四點共圓，所以AE•AC=AF•AD，

即2$\sqrt{7}$AE=12，即AE=$\frac{6\sqrt{7}}{7}$．

點評 本題考查四點共圓，圓的切線，切割線定理等知識，考查邏輯推理能力以及判定定理，計算能力．