Question

17．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞0，b＞0）$的一個(gè)焦點(diǎn)是拋物線 y²=8x的焦點(diǎn)，且雙曲線C 的離心率為2，那么雙曲線C 的方程為${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

Answer 1

分析 利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y²=8x，可得焦點(diǎn)為（2，0）．進(jìn)而得到c=2．再利用雙曲線的離心率的計(jì)算公式可得$\frac{c}{a}$=2得到a=1，再利用b²=c²-a²可得b²．進(jìn)而得到雙曲線的方程．

解答 解：由拋物線y²=8x，可得其焦點(diǎn)為（2，0）．
由題意雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞0，b＞0）$的一個(gè)焦點(diǎn)是拋物線 y²=8x的焦點(diǎn)，∴c=2．
又雙曲線的離心率為2，∴$\frac{c}{a}$=2，得到a=1，∴b²=c²-a²=3．
∴雙曲線的方程為${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
故答案為：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的性質(zhì)與方程，考查拋物線的性質(zhì)，熟練掌握雙曲線拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．