Question

6．已知函數(shù)f（x）=log₂（2^x+1）．
（1）求證：函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；
（2）記f^-1（x）為函數(shù)f（x）的反函數(shù)．若關(guān)于x的方程f^-1（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，求m的取值范圍；
（3）若f（x+t）＞2x對于x∈[1，2]恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）用單調(diào)性定義證明，先任取兩個變量，且界定大小，再作差變形，通過分析，與零比較，要注意變形要到位；
（2）先求得反函數(shù)f^-1（x）=log₂（2^x-1）（x＞0），構(gòu)造函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的值域；
（3）原不等式轉(zhuǎn)化為2^x+t+1＞2^2x，x∈[1，2]恒成立，解得即可．

解答 解：（1）任取x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=log₂（2^x₁+1）-log₂（2^x₂+1）=log₂$\frac{{2}^{{x}_{1}}+1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$，
∵x₁＜x₂，∴0＜2^x₁+1＜2^x₂+1，
∴0＜$\frac{{2}^{{x}_{1}}+1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$＜1，log₂$\frac{{2}^{{x}_{1}}+1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），
即函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增
（2）∵f^-1（x）=log₂（2^x-1）（x＞0），
∴m=f^-1（x）-f（x）=log₂（2^x-1）-log₂（2^x+1）=log₂$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=log₂（1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$）
當(dāng)1≤x≤2時，$\frac{2}{5}$≤$\frac{2}{{2}^{x}+1}$≤$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{1}{3}$≤1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$≤$\frac{3}{5}$
∴m的取值范圍是[log₂$\frac{1}{3}$，log₂$\frac{3}{5}$]．
（3）∵f（x+t）＞2x對于x∈[1，2]恒成立，
∴l(xiāng)og₂（2^x+t+1）＞2x=log₂2^2x，
∴2^x+t+1＞2^2x，x∈[1，2]恒成立
∴2^2+t+1＞2⁴，
解得t＞log₂$\frac{15}{4}$．
故t的取值范圍為（log₂$\frac{15}{4}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，主要涉及了用單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性以及構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等問題，還考查了轉(zhuǎn)化思想和構(gòu)造轉(zhuǎn)化函數(shù)的能力．