Question

17．在平面直角坐標系xOy中，已知任意角θ以x軸非負半軸為始邊，若終邊經(jīng)過點P（x₀，y₀），且|OP|=r（r＞0），定義sicosθ=$\frac{{x}_{0}+{y}_{0}}{r}$，稱“sicosθ”為“正余弦函數(shù)”．對于正余弦函數(shù)y=sicosx，有同學得到如下結(jié)論：
①該函數(shù)是偶函數(shù)；
②該函數(shù)的一個對稱中心是（$\frac{3π}{4}$，0）；
③該函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是[2kπ-$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈Z．
④該函數(shù)的圖象與直線y=$\frac{3}{2}$沒有公共點；
以上結(jié)論中，所有正確的序號是②④．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，求出函數(shù)y=f（x）=sicosθ=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），再利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對題目中的命題進行分析判定即可．

解答 解：對于①，根據(jù)三角函數(shù)的定義可知x₀=rcosx，y₀=rsinx，
所以sicosθ=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），圖象不關于y軸對稱，不是偶函數(shù)，錯誤；
對于②，因為y=sicosθ=f（$\frac{3π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{3π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=0，
所以該函數(shù)的圖象關于點（$\frac{3π}{4}$，0）對稱，②正確；
對于③，因為y=f（x）=sicosθ=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），所以由2kπ+$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，
可得2kπ+$\frac{π}{4}$≤x≤2kπ+$\frac{5π}{4}$，k∈Z，故錯誤；
該函數(shù)的最大值為$\sqrt{2}$$\frac{3}{2}$，其圖象與直線y=$\frac{3}{2}$無公共點，④正確．
故答案為②④．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應用問題，解題的關鍵是求出函數(shù)y=sicosθ的表達式，是綜合性題目．