Question

20．已知函數(shù)g（x）的圖象與函數(shù)f（x）=log₃x（x＞0）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，若g（a）•g（b）=9（其中a＞0且b＞0），則$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$的最小值為$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 由關(guān)于直線y=x對稱的兩函數(shù)的特點：互為反函數(shù)，可得g（x）=3^x，由指數(shù)的運算性質(zhì)可得a+b=2，（a，b＞0），則$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$=$\frac{1}{2}$（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$）=$\frac{1}{2}$（1+4+$\frac{a}$+$\frac{4a}$），再由基本不等式可得最小值．

解答 解：函數(shù)g（x）的圖象與函數(shù)f（x）=log₃x（x＞0）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，
可得g（x）為f（x）的反函數(shù)，且為g（x）=3^x，
由g（a）•g（b）=9（其中a＞0且b＞0），
可得3^a•3^b=9，即有a+b=2（a，b＞0），
則$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$=$\frac{1}{2}$（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$）=$\frac{1}{2}$（1+4+$\frac{a}$+$\frac{4a}$）
≥$\frac{1}{2}$（5+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{4a}}$）=$\frac{1}{2}$×（5+4）=$\frac{9}{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)b=2a=$\frac{4}{3}$時取得最小值$\frac{9}{2}$．
故答案為：$\frac{9}{2}$．

點評 本題考查關(guān)于直線y=x對稱的兩函數(shù)的特點：互為反函數(shù)，考查基本不等式的運用：求最值，注意運用乘1法和滿足的條件：一正二定三等，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．