Question

4．如圖，四邊形ABCD為等腰梯形，PD⊥平面ABCD，F(xiàn)為PC的中點，CD=AD=PD，AB=4AE=2CD．
（Ⅰ）求證：EF⊥PC；
（Ⅱ）求平面PAD與平面PCB所成的角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先證明DE⊥平面PCD，可得DE⊥PC，再證明PC⊥平面EFD，即可證明EF⊥PC；
（Ⅱ）過D作DO⊥BC，連接PO，則PO⊥BC，∠DPO是平面PAD與平面PCB所成的角．

解答 證明：（Ⅰ）∵四邊形ABCD為等腰梯形，CD=2，AB=4，AE=1，
∴DE⊥DC，
∵PD⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，
∴PD⊥DE，
∵PD∩DC=D，
∴DE⊥平面PCD，
∴DE⊥PC，
∵PD=CD，F(xiàn)為PC的中點，
∴DF⊥PC，
∵DE∩DF=D，
∴PC⊥平面EFD，
∵EF?平面EFD，
∴EF⊥PC；
解：（Ⅱ）過D作DO⊥BC，連接PO，則PO⊥BC，
∴∠DPO是平面PAD與平面PCB所成的角．
設(shè)CD=1，則DO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，PD=1，
∴PO=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴cos∠DPO=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

點評 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查平面與平面所成角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．