6.自圓C:(x-3)2+(y+4)2=4外一點(diǎn)P(x,y)引該圓的一條切線,切點(diǎn)為Q,切線的長度等于點(diǎn)P到原點(diǎn)O的長,則|PQ|的最小值為( 。
A.$\frac{13}{10}$B.3C.4D.$\frac{21}{10}$

分析 由題意畫出圖象,根據(jù)條件和圓的切線性質(zhì)列出方程化簡,求出點(diǎn)P的軌跡方程,結(jié)合條件和兩點(diǎn)之間、點(diǎn)到直線的距離公式求出|PQ|的最小值.

解答 解:由題意得,圓心C(3,-4),半徑r=2,如圖:
因為|PQ|=|PO|,且PQ⊥CQ,所以|PO|2+r2=|PC|2,
所以x2+y2+4=(x-3)2+(y+4)2,
即6x+8y-21=0,所以點(diǎn)P在直線6x+8y-21=0上,
要使|PQ|最小,只要|PO|最小即可,
當(dāng)直線PO垂直于直線6x+8y-21=0時,|PQ|最小,
此時|PQ|最小值是$\frac{|-21|}{\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}}$=$\frac{21}{10}$,
故選:D.

點(diǎn)評 本題考查圓的切線性質(zhì),勾股定理、兩點(diǎn)之間和點(diǎn)到直線的距離公式,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.

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