Question

18．設(shè)a，b均大于0，且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=1．求證：對于每個n∈N^*，都有（a+b）ⁿ-（aⁿ+bⁿ）≥2²ⁿ-2ⁿ⁺¹．

Answer 1

分析 運用二元均值不等式可得$\sqrt{ab}$≥2，再由二項式定理，化簡整理可得（a+b）ⁿ-（aⁿ+bⁿ）
=$\frac{1}{2}[{（{a^{n-1}}b+a{b^{n-1}}）C_n^1+（{a^{n-2}}{b^2}+{a^2}{b^{n-2}}）C_n^2+…+（a{b^{n-1}}+{a^{n-1}}b）C_n^{n-1}}]$，再由均值不等式即可得證．

解答 證明：由a，b均大于0，且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=1，
可得$1=\frac{1}{a}+\frac{1}≥\frac{2}{{\sqrt{ab}}}$知$\sqrt{ab}≥2$，
由二項式定理，得${（a+b）^n}-（{a^n}+{b^n}）=C_n^1{a^{n-1}}b+C_n^2{a^{n-2}}{b^2}+…+C_n^{n-2}{a^2}{b^{n-2}}+C_n^{n-1}a{b^{n-1}}$
=$\frac{1}{2}[{（{a^{n-1}}b+a{b^{n-1}}）C_n^1+（{a^{n-2}}{b^2}+{a^2}{b^{n-2}}）C_n^2+…+（a{b^{n-1}}+{a^{n-1}}b）C_n^{n-1}}]$$≥\sqrt{{{（ab）}^n}}（{C_n^1+C_n^2+…+C_n^{n-1}}）≥{2^n}（{2^n}-2）={2^{2n}}-{2^{n+1}}$．
則原不等式成立．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用二元均值不等式和二項式定理，以及二項式系數(shù)的性質(zhì)，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．