Question

若奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，f（2）=0，則

f(x)-f(-x)

x

＜0的解為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題先由f（x）是奇函數(shù)，得到f（-x）=-f（x），函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，再由f（2）=0，函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（2，0），（-2，0），由函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，得到f（x）函數(shù)值正負(fù)的分布，最后解不等式則

f(x)-f(-x)

x

＜0，得到本題結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱．
∵函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，f（2）=0，
∴函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（2，0），（-2，0）．
當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f（x）＜0，
當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）＞0，
當(dāng)-2＜x＜0時(shí)，f（x）＞0，
當(dāng)x＜-2時(shí)，f（x）＜0．
當(dāng)x=-2或x=0或x=2時(shí)，f（x）=0．
∵

f(x)-f(-x)

x

＜0，
∴

2f(x)

x

＜0．
∴

x＞0 f(x)＜0

或

x＜0 f(x)＞0

，
∴-2＜x＜0或0＜x＜2．
故答案為：（-2，0）∪（0，2）．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)圖象與性質(zhì)，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．