Question

（本題滿分12分）
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,2)，其焦點(diǎn)F在x軸上．
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)直線l是拋物線的準(zhǔn)線，求證：以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切．

Answer 1

(1) y²＝2x (2)關(guān)鍵證明AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于AB的一半。

試題分析：解：(1)設(shè)拋物線y²＝2px(p>0)，將點(diǎn)(2,2)代入得p＝1.
∴y²＝2x為所求拋物線的方程．
(2)證明：設(shè)l_AB的方程為：x＝ty＋，代入y²＝2x得：y²－2ty－1＝0，設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x₀，y₀)，則y₀＝t，x₀＝.
∴點(diǎn)M到準(zhǔn)線l的距離d＝x₀＋＝＋＝1＋t².又AB＝2x₀＋p＝1＋2t²＋1＝2＋2t²，∴d＝AB，故以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切．
點(diǎn)評(píng)：求拋物線的方程，前提是設(shè)拋物線的方程，而設(shè)置拋物線可結(jié)合焦點(diǎn)，像本題通過(guò)畫(huà)圖，知道拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，因而可令拋物線的方程為y²＝2px(p>0)（式子中的x 對(duì)應(yīng)x軸，2px前面是正的對(duì)應(yīng)正半軸）。第二題涉及直線與拋物線這兩種曲線，當(dāng)兩者相交時(shí)，常常在聯(lián)立方程組后，用到根與系數(shù)的關(guān)系式：